Les méthodes issues des systèmes dynamiques d’une part et de la géométrie d’autre part sont aujourd’hui centrales en théorie des groupes.
Le théorème de Rips-Bestvina-Paulin constitue un exemple emblématique où l’on voit ainsi se mêler méthodes géométriques et dynamiques pour démontrer un résultat profond en théorie des groupes : le groupe des automorphismes extérieurs d’un groupe hyperbolique sans torsion G est infini si et seulement G se scinde au dessus d’un groupe cyclique. En effet, l’idée de la preuve est tout d’abord d’utiliser l’hyperbolicité du groupe G pour obtenir, avec des techniques de renormalisation, une action de G sur un arbre réel T. Il s’agit ensuite de contrôler cette action suffisamment précisément : la “machine de Rips” permet d’approcher, à la fois métriquement et dynamiquement, l’action de G sur T par des actions de G sur des arbres simpliciaux.
Plus généralement, les arbres réels ont joué un rôle clé en théorie géométrique des groupes au cours des 25 dernières années: ils apparaissent notamment comme objets limites naturels lorsque l’on fait dégénérer des structures hyperboliques (par exemple pour compactifier des espaces comme l’espace de Teichmüller).
Le champ de la dynamique et/ou géométrie des groupes s’étend aujoud’hui à de nombreuses branches actives des mathématiques, telles que la topologie de petite dimension, la topologie algébrique, la dynamique complexe, les théorie de Teichmüller, la logique, la géométrie riemannienne, la théorie des représentations, les algèbres d’opérateurs... Cette conférence sera non seulement l’occasion de présenter les toutes dernières avancées en géométrie et/ou dynamique des groupes, mais aussi de rendre compte de ses impacts récents sur les domaines connexes.
Par ailleurs, cette conférence donnera aussi l’opportunité de célébrer le soixantième anniversaire de deux mathématiciens
– Gilbert Levitt, Université de Caen,
– Martin Lustig, Université Aix-Marseille,
dont les travaux en dynamique et géométrie des groupes ont marqué les trente dernières années (notamment leurs travaux communs sur les arbres réels et le groupe des automorphismes extérieurs d’un groupe libre).
